Je ne sais si ma réponse va vous convenir car j'ai l'impression que vous avez déjà pas mal étudié la question.
Il nous manque également la puissance de votre abonnement qui nous aurait un peu mieux orienté vers les solutions possible.
Comme vous l'avez compris un abonnement en tri réparti l'intensité sur 3 phases.
Ainsi un abonnement 12kVA correspond à 20A en tri c'est à dire 20A sur chaque phase.
Le même en mono correspond à 60A disponibles sur une seule phase.
Je trouve qu'en habitat le terme Equilbrage est impropre car à l'inverse de l'industrie EDF ne vous demande pas d'équilibrer.
Votre seule contrainte est de ne pas dépasser l'intensité max d'une phase (20A dans mon exemple).
Cette contrainte est d'autant plus forte que l'abonnement est faible. Vous n'aurez pas les mêmes problèmes avec un 3x15A et un 3x60A.
L'équilibrage va consister à répartir vos gros consommateurs au mieux sur chaque phase afin de ne pas dépasser l'intensité mas d'une phase.
Les appareils en tri se répartissent naturellement sur les 3 phases. Afin de faciliter l'équilibrage essayez de brancher le maximumn de choses en tri (plaques, chauffe-eau, piscine)
Pour le mono il faut effectivement identifier quel circuit est sur quelle phase. Déterminer la consommation potentielle de ces circuits (pour les appareils électroménager, reportez vous à la plaque signalétique de l'appareil).
Répartir ensuite les circuits de manière homogène sur chaque phase (gros consommateurs, prises, éclairages) en s'assurant que la somme des puissances d'une phase ne dépassera pas le maxi autorisé de votre abonnement.
Il faut bien sur tenir compte du fait que tout ne fonctionne jamais forcément en même temps et parfois accepter quelques contraintes du style ne pas mettre le lave-linge en même temps que le sèche linge.
Reste qu'avec des abonnement faibles 3x15A ou 3x20A c'est difficile car la puissance dispo par phase n'est pas élevée et parfois la seule solution est d'augmenter l'abonnement.
Je terminerai en vous donnant un exemple de tableau tri, dont vous pouvez vous inspirer.
Voici le schéma :
Pour agrandir l'image, cliquez dessus.

Bigre, c'est une question qui réveille et il est de bonne heure. Je vais essayer de faire simple à distance.
Soit une installation mono entre phase et neutre, puissance installée de 9 kVA ; en 230 V entre phase et neutre (tension simple notée V), cela signifie que vous pouvez consommer 39 A, intensité du courant que vous allez retrouver dans le fil de phase et le fil de neutre. Au plus, vous pourrez donc disposer de 9 kW (il faut en effet faire la différence entre puissance apparente S = V*I en VA et puissance active P = S*cos(phi) en W. Sans rentrer dans les détails, les grandeurs instantanées sinusoïdales tension et courant ne sont pas toujours en phase, elles sont déphasées d'un angle phi dont le cosinus cos(phi) se nomme facteur de puissance. Pour une puisssance apparente V*I donnée, plus cos(phi) est petit moins il y a de puissance active : P = V*I*cos(phi). On ne parle pas d'équilibrage en mono.
En triphasé ce n'est plus pareil, c'est comme si vous aviez 3 installations monophasées superposées, la puissance souscrite de 9 kVA est alors répartie en 3 : entre phase 1 et neutre 3 kVA, entre phase 2 et neutre 3 kVA de même qu'entre phase 3 et neutre encore 3 kVA. Ce qui fait pour une phase une intensité en ligne disponible I de 13 A. On pourrait dire alors "le neutre étant commun, on va avoir 39 A dedans" ; non, car dans le neutre on retrouve la somme vectorielle des 3 courants I1 I2 et I3, et surtout pas l'addition bête des 3 intensités. Ainsi, pour une charge équilibrée telle qu'un moteur asynchrone triphasé, les 3 intensités en ligne ont la même valeur efficace, et l'intensité du courant dans le neutre est nulle en théorie. Ceci est d'autant plus vrai que sur un moteur asynchrone, on ne raccorde pas le neutre, mais les 3 fils de phase seulement (avec un couplage étoile ou triangle, cela dépend des caractéristiques du moteur).
Revenons chez vous. Equilibrer une installation triphasée revient à brancher les récepteurs monophasés et triphasés de façon telle que l'intensité en ligne dans chaque fil de phase ne dépasse pas 13 A, de façon à ne pas surcharger une phase particulière. Cela se fait pratiquement en connaissant la consommation de chaque récepteur, que l'on contrôle avec une pince ampèremétrique. C'est donc l'outil de base pour réaliser l'équilibrage.
Pour équilibrer l'installation totale, les récepteurs triphasés tels que le moteur de pompe ou une PAC ne pose pas de pb, ces récepteurs étant par nature équilibrés (ils consomment de la même façon sur les 3 phases, et l'intensité dans leur neutre est nulle). Après, comme vous l'avez bien compris, il faut répartir les récepteurs monophasés de façon à ne pas dépasser l'intensité en ligne disponible par phase. D'où la pince ampèremétrique. Tout cela se fait au niveau du tableau.
Compléments :
1. La prise de cuisine qui saute mériterait d'être réparée, ou au moins le défaut qui l'affecte diagnostiqué ; suite à quelle action ce disjoncteur saute t-il ?
2. Le lave vaisselle est un récepteur monophasé. Le four est sans doute branché sur la même phase en mono. Le plus simple est de brancher ce dernier soit en mono sur une autre phase avec ligne dédiée, ou le coupler en tri (si cela est possible au niveau de son bornier) sur une prise tri dédiée ce qui serait nettement meilleur. Idem pour une plaque de cuisson, il faut la coupler en tri, de façon à ce qu'elle consomme sur les 3 phases (récepteur tri déséquilibré).
3. Un électricien expérimenté devrait pouvoir vous régler cette installation. Il faut être méthodique. Une réfection du tableau ne serait pas du luxe : monter des protections différentielles 30 mA s'il n'y en a pas, mettre des disjoncteurs uni + neutre ou bipolaires (vous devez avoir des unipolaires) pour effectuer des coupures omnipolaires ; j'ai quelques inquiétudes quand vous parler de broches porcelaine.
4. Passer en mono occasionnerait des dépenses, et technologiquement ce serait une régression car vous avez des moteurs à faire tourner.
5. Un peu de connaissances théoriques sur les sommes vectorielles et les diagrammes de Fresnel aident beaucoup pour la compréhension, mais on dépasse les limites théoriques maximum du niveau des réponses dans ce forum. Néanmoins, pour en savoir plus, un livre de physique appliquée niveau 1ère ou terminale GET (génie électrotechnique) disponible en librairie spécialisé, vous permettrait d'approfondir vos connaissances, pour lesquelles vous méritez déjà 13,5/20 (avec un + pour la motivation).
6. Le soleil s'est levé. GL

Je ne sais pas comment vous expliquer par écrit, mais je vais essayer ! il y a 2 méthodes.
La première : on utilise une pince ampèremétrique, et la seconde, vous devez connaître les puissances de chaque appareil électroménager et les éclairages ! Ensuite vous devez essayer de répartir uniformément ces puissances sur les 3 phases de votre installation ! HVS

Je pense que tout a été dit, et bien expliqué avec beaucoup de détails ; il vous reste à trouver la bonne personne qui veuille bien se pencher sur votre problème, et le mener à bien ; bonne continuation.

Ce n'est pas une réponse, ce sont des remerciements pour ces explications extrêmement précises et pour l'indication biblio. Je me plonge dans tout cela et, si j'ai encore des interrogations, j'essaierai d'être encore plus précise dans la description des problèmes. J'avais effectivement oublié la puissance de l'installation et oublié de dire que four, plaques de cuisson et peut-être lave-vaisselle sont branchés en triphasé.
Anne

Il m'est arrivé une fois qu'une prise fasse disjoncter systématiquement avec une installation tri et un différentiel par phase. Le neutre n'était pas relié au même différentiel que la phase et donc dès que la prise fonctionnait il y avait une différence phase neutre et le différentiel sautait.

Juste pour dire que la réponse numéro deux (2) est vraiment superbement expliquée pour qui maitrise déjà un chouïa. Merci à l'internaute de cette réponse constructive et qui participe à la connaissance générale.